椭圆焦点三角形面积公式

椭圆的焦点三角形是指以椭圆的两个焦点F1，F2与椭圆上任意一点P为顶点组成的三角形。焦点三角形面积公式是S=b²·tan(θ/2)（θ为焦点三角形的顶角）。

椭圆的焦点三角形性质为

（1）|PF1|+|PF2|=2a

（2）4c²=|PF1|²+|PF2|²-2|PF1|·|PF2|·cosθ

（3）周长=2a+2c

（4）面积=S=b²·tan(θ/2)（∠F1PF2=θ）

证明

设P为椭圆上的任意一点P（不与焦点共线），

∠F2F1P=α，∠F1F2P=β，∠F1PF2=θ，

则有离心率e=sin(α+β)/(sinα+sinβ)，

焦点三角形面积S=b²·tan(θ/2)。

扩展

圆的通径就是过焦点垂直于长轴的直线与椭圆相交所得的线段长度，所以把椭圆方程中的x代成c，就可得：就可得y1=b²/a，y2=-b^/a，所以通径的长度就是y1-y2=2b²/a，其中b²表示b的平方。

推导过程

证明

设椭圆x²/a²+y²/b²=1，焦点(c，0)，(-c，0)，且c²=a²-b²

令x=c或-c，c²/a²+y²/b²=1

∴y²/b²=1-c²/a²=1-(a²-b²)/a²=b²/a²

∴y²=b²×b²/a²，y=b²/a或-b²/a

即通径两端点为(c，b²/a)(c，-b²/a)，或者(-c，b²/a)(-c，-b²/a)

∴通径长=b²/a-(-b²/a)=2b²/a

椭圆通径长定理

椭圆的常见问题以及解法

椭圆通径长定理，指的是椭圆的通径AB就是过焦点垂直于长轴的直线与椭圆相交所得的线段AB。可以由勾股定理推导。椭圆中的通径是通过焦点最短的弦。

例如：有一个圆柱，被截得到一个截面，下面证明它是一个椭圆（用第一定义）：

将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端向中间挤压，它们碰到截面的时候停止，

那么会得到两个公共点，显然他们是截面与球的切点。

设两点为F1、F2

对于截面上任意一点P，过P做圆柱的母线Q1、Q2，与球、圆柱相切的大圆分别交于Q1、Q2则PF1=PQ1、PF2=PQ2，所以PF1+PF2=Q1Q2

由定义1知：截面是一个椭圆，且以F1、F2为焦点

用同样的方法，也可以证明圆锥的斜截面（不通过底面）为一个椭圆。