勾股定理的证明方法如下：
1、以a b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于2分之一ab。
2、AEB三点在一条直线上，BFC三点在一条直线上，CGD三点在一条直线上。
3、证明四边形EFGH是一个边长为c的正方形后即可推出勾股定理。
4，用无穷级数证明。
5，用高斯公式证明。
2020-11-13
勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，即在以a、b为直角边，c为斜边的三角形中有a^2+b^2=c^2。
证法一：
以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的三角形，按下图所示相拼，使A、E、B三点共线，B、F、C 三点共线，C、G、D三点共线。
∵Rt△HAE≌Rt△EBF
∴∠AHE=∠BEF
∵∠AHE+∠AEH=90°
∴∠BEF+∠AEH=90°
∵A、E、B共线
∴∠HEF=90°，四边形EFGH为正方形
由于上图中的四个直角三角形全等，易得四边形ABCD为正方形
∴正方形ABCD的面积=四个直角三角形的面积+正方形EFGH的面积
∴(a+b)^2=4•（1/2）•ab+c^2，整理得a^2+b^2=c^2
证法二：
如上图所示两个边长为a+b的正方形面积相等
所以a^2+b^2+4•（1/2）•ab=c^2+4•（1/2）•ab，故a^2+b^2=c^2。
证法三：
以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的三角形，按下图所示相拼。
易得四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形
∴正方形ABCD的面积=四个直角三角形的面积+正方形EFGH的面积
∴c^2=4•（1/2）•ab+(b-a)^2 ，整理得a^2+b^2=c^2
证法四：
如下图所示。
易得△CDE为等腰直角三角形
∴梯形ABCD的面积=两个直角三角形的面积+一个等腰三角形的面积
∴1/2•（a+b）•（a+b）=2•（1/2）•ab+（1/2）•c^2，整理得a^2+b^2=c^2
证法五：
以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的三角形，按下图所示相拼，使DEF在同一直线上，过C点作CI垂直于DF，交DF于I点。
易得四边形ABEG、四边形CBDI、四边形FGHI都为正方形。
∴多边形EGHCB的面积=正方形ABEG的面积-两个直角三角形的面积
且多边形EGHCB的面积=正方形CBDI的面积+正方形FGHI的面积-两个直角三角形的面积
∴正方形ABEG的面积=正方形CBDI的面积+正方形FGHI的面积
∴c²=a²+b²