射影定理的三个公式

射影定理的三个公式

a=bcosCccosB，b=ccosAacosC和c=acosBbcosA

射影定理公式

1、在ABC中，如果A，B和C的对边是A，B和C，那么就有：a=bcosCccosB，b=ccosAacosC和c=acosBbcosA。这三个公式称为射影定理。在ABC中，如果A，B和C的对边是A，B和C，那么就有：a=bcosCccosB，b=ccosAacosC和c=acosBbcosA。这三个公式称为射影定理。

2、射影定理的内容

3、AB=ADAC，BC=CDCA

4、这两个公式加在一起：

5、Bc=adaccdac=(adcd)ac=ac(勾股定理)。

6、注：AB表示AB的二次方。

7、射影定理证明了：个三角形中的角A=90度是已知的。AD高。

8、1:如果a点在BC线上的投影是d点，AB和AC在BC线上的投影分别是BD和CD，BD=ccosB，CD=bcosc，a=a=BDCD=bcosCccosB可以用同样的方法证明剩下的。

9、2.证明：根据正弦定理，我们可以得到：b=asinB/sinA，c=AsInC/SinA=AsIn(ab)/SinA=a(sinAco***cosasib)/SinA=aco***(Asinb/SinA)cosa=aco***cosa。

扩展

射影定理内容

AB²=AD·AC，BC²=CD·CA

两式相加得

AB²+BC²=AD·AC+CD·AC=（AD+CD)·AC=AC²（即勾股定理）。

注：AB²的意思是AB的2次方。

射影定理证明

已知:三角形中角A=90度。AD是高。

证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD，且BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC+c·cosB同理可证其余。

证明2：由正弦定理，可得：b=asinB/sinA，c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA=acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB+b·cosA.同理可证其余。

射影公式的推理过程

①CD²=AD·BD;

②②AC²=AD·AB;

③③BC²=BD·AB;

证明

①CD²+AD²=AC²，CD²+BD²=BC²

∴2CD²+AD²+BD²=AC²+BC²

∴2CD²=AB²-AD²-BD²

∴2CD²=(AD+BD)²-AD²-BD²

∴2CD²=AD²+2AD·BD+BD²-AD²-BD²

∴2CD²=2AD·BD∴CD²=AD·BD

②CD²=AD·BD(已证)

∴CD²+AD²=AD·BD+AD²

∴AC²=AD·(BD+AD)

∴AC²=AD·AB

③BC²=CD²+BD²

BC²=AD·BD+BD²

BC²=(AD+BD)·BD

BC²=AB·BD

∴BC²=AB·BD