勾股数有哪些

勾股数，又名毕氏三元数。勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。勾股数的依据是勾股定理。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一。

勾股定理说明，平面上的直角三角形的两条直角边的长度（古称勾长、股长）的平方和等于斜边长（古称弦长）的平方。反之，若平面上三角形中两边长的平方和等于第三边边长的平方，则它是直角三角形（直角所对的边是第三边）。

发展历史

勾股定理在西方被称为Pythagoras定理，它以公元前6世纪希腊哲学家和数学家的名字命名。可以有理由认为他是数学中最重要的基本定理之一，因为他的推论和推广有着广泛的引用。虽然这样称呼，他也是古代文明中最古老的定理之一，实际上比Pythagoras早一千多年的古巴比伦人就已经发现了这一定理，在Plimpton322泥板上的数表提供了这方面的证据，这块泥板的年代大约是在公元前1700年。对勾股定理的证明方法，从古至今已有400余种。

据《周髀算经》记载，“昔者周公问与商高曰：请问古者包牺立周天历度。夫天不可阶而升．地不可得尺寸而度．请问数安从出．商高曰．数之法．出于圆方．圆出于方．方出于矩．矩出于九九八十一．故折矩，以为句，广三，股修四．径隅五．既方其外．半之一矩．环而共盘．得成三四五．两矩共长二十有五．是谓积矩．故禹之所以治天下者．此数之所生也．周公曰．大哉言数．请问用矩之道．商高曰．平矩以正绳．偃矩以望高。覆矩以测深．卧矩以知远．环矩以为圆．合矩以为方．方属地．圆属天．天圆地方．方数为典．以方出圆。笠以写天．天青黑．地黄赤．天数之为笠也．青黑为表．丹黄为里．以象天地之位．是故．知地者智．知天者圣．智出于句．句出于矩．夫矩之于数．其裁制万物．惟所为耳．周公曰．善哉。”

（3n、4n、5n）（n是正整数）（这是最著名的一组！俗称“勾三，股四，弦五”。古人把较短的直角边称为勾，较长直角边称为股，而斜边则为弦。）（5n、12n、13n）（n是正整数）

证明

a=2mn

b=m²-n²

c=m²+n²

证：

假设a²+b²=c²，这里研究(a，b)=1的情况（如果不等于1则(a，b)|c，两边除以(a，b)即可）

如果a，b均奇数，则a²+b²=2(mod4)（奇数mod4余1），而2不是模4的二次剩余，矛盾，所以必定存在一个偶数。不妨设a=2k

等式化为4k²=(c+b)(c-b)

显然b，c同奇偶（否则右边等于奇数矛盾）

作代换：M=(c+b)/2，N=(c-b)/2，显然M，N为正整数

往证：(M，N)=1

如果存在质数p，使得p|M，p|N，那么p|M+N(=c)，p|M-N(=b)，从而p|c，p|b，从而p|a，这与(a，b)=1矛盾

所以(M，N)=1得证。

依照算术基本定理，k²=p₁a₁×p₂a₂×p₃a₃×…，其中a₁，a₂…均为偶数，p₁，p₂，p₃…均为质数

如果对于某个pi，M的pi因子个数为奇数个，那N对应的pi因子必为奇数个（否则加起来不为偶数），从而pi|M，pi|N，(M，N)=pi>1与刚才的证明矛盾　所以对于所有质因子，pi²|M，pi²|N，即M，N都是平方数。

设M=m²，N=n²

从而有c+b=2m²，c-b=2n²，解得c=m²+n²，b=m²-n²，从而a=2mn