等比数列的通项公式

等比数列的通项公式

an=a1×q^(n-1)

等比数列求和公式

（1）q≠1时，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)

（2）q=1时，Sn=na1。(a1为首项，an为第n项，q为等比)

Sn=a1(1-q^n)/(1-q)的推导过程：

Sn=a1+a2+……+an

q*Sn=a1*q+a2*q+……+an*q=a2+a3+……+a(n+1)

Sn-q*Sn=a1-a(n+1)=a1-a1*q^n

(1-q)*Sn=a1*(1-q^n)

Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)

等比数列在生活中也是常常运用的。如：银行有一种支付利息的方式——复利。即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，在计算下一期的利息，也就是人们通常说的“利滚利”。按照复利计算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)^存期。

性质

①若m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，则am·an=ap*aq；

②在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列.

“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”.

在等比数列中，首项A1与公比q都不为零.

注意：上述公式中A^n表示A的n次方.

对于一个数列{an}，如果任意相邻两项之商（即二者的比）为一个常数，那么该数列为等比数列，且称这一定值商为公比q；从第一项a1到第n项an的总和，记为Tn。

那么，通项公式为(即a1乘以q的（n-1)次方，其推导为“连乘原理”的思想：a2=a1*q，

a3=a2*q，

a4=a3*q，

an=an-1*q，

将以上(n-1)项相乘，左右消去相应项后，左边余下an，右边余下a1和(n-1)个q的乘积，也即得到了所述通项公式。

此外，当q=1时该数列的前n项和：Sn=nA1(q=1)

当q≠1时该数列前n项的和：Sn=[A1(1-q)^n]/(1-q)

等差数列

对于一个数列{an}，如果任意相邻两项之差为一个常数，那么该数列为等差数列，且称这一定之差位公差，记为d；从第一项a1到第n项an的总和，记为Sn。

那么，通项公式为An=A1*q^（n－1）

，其求法很重要，利用了“叠加原理”的思想：

将以上n-1个式子相加，便会接连消去很多相关的项，最终等式左边余下an，而右边则余下a1和n-1个d，如此便得到上述通项公式。

此外，数列前n项的和，其具体推导方式较简单，可用以上类似的叠加的方法，也可以采取迭代的方法，在此，不再复述。

值得说明的是，，也即，前n项的和Sn除以n后，便得到一个以a1为首项，以d/2位公差的新数列，利用这一特点可以使很多涉及Sn的数列问题迎刃而解。